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精确华宁不等式与最佳Hermite,插值结点组

时间:2024-02-04 14:00:03 来源:网友投稿

于晓晨, 许贵桥

(天津师范大学数学科学学院,天津 300387)

记N和R分别为正整数集和实数集。对p=∞,用L∞[a,b]表示[a,b]上本性有界可测函数组成的函数空间,其范数定义为对1≤p<∞,用Lp[a,b]表示p-次勒贝格可积函数f: [a,b]→R构成的Lp-赋范空间,其范数定义为

且当a=−1, b=1 时,把Lp[a,b]和Wrp[a,b]分别简记为Lp和Wrp(1≤p ≤∞)。

在不等式理论中最令人关注的问题之一是涉及函数及其导数的华宁不等式。华宁不等式一方面与线性微分方程和微分几何研究密切相关,近年来有许多结果[1–4]。另一方面华宁不等式与Hermite 插值H∆f的误差估计式

文献[5—6]给出了当αi= 1(i= 1,2,··· ,n)和αi=k(i= 1,2,··· ,n/k, k ∈N)时最佳常数C(n,∞,∞)的计算方法,文献[7]给出了当r= 1 时最佳常数C(n,2,2)的计算方法,文献[8]给出了当r= 2 时最佳常数C(n,1,1)的计算方法。注意到上述结果都是基于插值误差的积分型余项公式,本文将首先给出Hermite 插值的一种新的误差估计,再利用这种误差估计把C(n,∞,p)(1≤p ≤∞)的值转化为一个显式积分表达式,并用两个例子来说明结果。

在构造插值算法时,插值结点组的选择是十分重要的。给定一个足够光滑的函数,如果插值结点组选择的不好,当插值结点个数趋于无穷时,插值函数不收敛于函数本身,例如:龙格现象。因此,最优插值结点组的研究是函数逼近论研究的一个热门课题,近期研究可见文献[9–12]。注意到上述研究的结果都是关于Lagrange 插值算子,其是Hermite 插值当αi= 1(i= 1,2,··· ,n)时的特殊情况。本文将研究一般Hermite 插值的最优插值结点组问题,给出了当信息个数固定时的最优Hermite 插值结点组。对于p= 1,2,∞,我们给出了最优结点组的显式表达式。对于其它情况,我们把最优插值结点组的计算归结为求函数的最小值点,并用Mathematical 计算最小值,得到了当n=2,3,4,5, p=3,4,5,6 时华宁不等式最优系数的值。

一元函数的插值方法在多元计算问题中起着关键的作用[13–17],在上述文章中用到的都是Lagrange 插值方法。最近,文献[18]用Hermite 插值方法构造多元算法解决高维问题,这就涉及了如何选择一元Hermite 插值的插值结点组问题,寻找Hermite 插值在各种意义下的最优Hermite 插值结点组有着重要的理论意义和应用价值。

首先介绍Hermite 插值。设

和(10)式,可得(4)式。

下面给出本文的第一个主要结果。

定理1 设

是一个Hermite 插值结点组,则对任给满足条件f(xi) =f′(xi) =···=f(αi−1)(xi) =0(i=1,2,··· ,r)的函数f ∈Wn∞,有精确不等式

由例1 和例2 可知,尽管结点组元素的个数相同,但当结点组的元素不相同时,相应华宁不等式精确系数的值是不同的。下面我们给出当结点组元素的个数固定时,系数取得最小值的结点组,即给出结点组

使得

其中Cp,∆可参见(12)式。由(16)式可知,此结点组也是逼近问题的最优Hermite 插值结点组。

用Pn表示次数不超过n的代数多项式的集合,记

且用Wn,p表示满足条件

由(12)、(26)式,可得

结合(25)、(27)式,可得(24)式。

注1 在过去的研究中,人们讨论的都是最优Lagrange 插值。Hermite 插值是比Lagrange 插值更广的一类插值,其不仅可用Lagrange 插值所需要的函数值信息,而且可以使用导数值信息,那么在使用同样多的信息量的情况下,增加使用导数值信息能否使得计算的结果更加精确呢?对比文献[12]和本文的结果可知,如果在Lp(1≤p ≤∞)范数下考虑Sobolev 类Wn∞在使用n个信息时的多项式插值逼近,那么最优Hermite 插值与最优Lagrange 插值是一致的,均为

对于p=1,2,∞,上节给出了最优系数的显式表达式。对于其它情形,我们可以把最优系数的值转化为下面的优化问题用数值方法求解。

由定理2 可知,对固定的n ∈N,1≤p<∞,基于Hermite 插值的华宁不等式的最优系数为

而最优插值结点组可用求上面优化问题的最小值点来得到。

用Mathematical 计算上式,可以得到Cp,∆p,n的值。表1 列出了当n=2,3,4,5, p=3,4,5,6 时Cp,∆p,n的值。

表1 华宁不等式的一些最优系数

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