田雪宏，刘茂省
(中北大学 数学学院， 太原 030051)
数学模型能够帮助人们了解传染病的传播机制，从而制定相应的措施，更加有效地预防和控制传染病。虽然有很多文献都是基于单群体模型来研究的，但考虑到传染病宿主的不同的接触模式、不同的年龄结构、不同的社会和经济地位等，对多群体传染病模型进行深入研究是很有必要的。关于多群体模型最早的研究工作之一是由Lajmanovich等完成的，他们在文献[1]中研究了一类淋病传播动力学的SIS多群体模型，对该模型地方病平衡点的全局稳定性进行了分析。此后，越来越多的学者对多群体传染病模型进行了研究[2-7]。然而，由于确定性模型没有考虑到环境波动带来的影响，在传染病传播的数学建模中具有一定的局限性，要准确预测系统的未来动态是相当困难的。因此，许多学者已经考虑了在传染病模型中加入随机扰动[8-15]。文献[11]考虑了带有饱和发生率的随机SIR传染病模型的灭绝和持续，并证明了平稳分布的存在性。Ji等在文献[12]中分析得到了随机多群体SIS传染病模型疾病灭绝以及持续的条件。本文基于上述工作，研究了一类随机多群体SIS传染病模型的动力学性态。
文献[12]考虑将环境白噪声引入如下经典的多群体SIS传染病模型中：
(1)
式中:Sk(t)和Ik(t)分别表示第k(k=1,2,…,n)个群体在t时刻的易感者数量和染病者数量；
Nk为第k个群体在t时刻的人口总量；
μk表示第k个群体的出生率和死亡率；
βkj表示Sk和Ij之间的传染系数；
γk为恢复率。
上述模型考虑了双线性发生率对传染病传播的影响。在模型(1)的基础上，考虑将饱和发生率引入如下的多群体SIS传染病模型中：
(2)
假设系统中所有的参数值都是非负的。显然，Sk(t)+Ik(t)≡Nk(k=1,2,…n)，初值为Sk(0)+Ik(0)=Nk(k=1,2,…,n)。
在现实世界中，不能忽视白噪声对系统的干扰。主要考虑接触率系数βkk受随机扰动的影响，即
βkk→βkk+σkdBk(t),k=1,2,…,n
(3)
由于Sk(t)+Ik(t)=Nk(k=1,2,…n)，那么式(3)就可以简化为
(4)
假设{Ω,F,{Ft}t≥0,P}是一个完备的概率空间，滤波{Ft}t≥0满足通常条件。首要关心的是系统(4)的解是否是全局存在并且是正的。
定理2.1对于任意给定初值I(0)=(I1(0),I2(0),…,In(0))∈(0,N1)×(0,N2)×…×(0,Nn)，在t≥0时，系统(4)存在一个唯一的解I(t)=(I1(t),I2(t),…,In(t))，并且该解以概率1位于(0,N1)×(0,N2)×…×(0,Nn)中。
因此，存在整数m1≥m0，使得对于所有的m≥m1时，有
P{τm≤T}≥δ
(5)
根据伊藤公式，对于任意的t∈[0,T]以及m≥m1，有
(6)
式中LV：(0,N1)×(0,N2)×…×(0,Nn)→R如下：
把上式代入式(6)得：
根据Gronwall不等式，可以得出
EV(I(T∧τk))≤V(I(0))eCT
(7)
V(I(0))eCT≥E[1Ωm(ω)V(I(τm,ω))]≥mP(Ωm)≥mδ
式中1Ωm(ω)是Ωm的示性函数。令m→∞，那么∞>V(I(0))eCT=∞，可以推出矛盾。所以有τ∞=∞ a.s.，系统(4)存在唯一的全局正解。
本节将讨论满足何种条件时，疾病会持续存在。假设X(t)是Ed(d维欧几里得空间)中的一自治Markov过程，满足如下随机微分方程[16]
其扩散矩阵有如下的定义
引理3.1[17-18]如果存在具有正则边界的有界区域U⊂Ed，具有如下性质：
(1) 存在正数M满足
(2) 对任意的EdU，存在一个非负的C2-函数使得LV是负的,
则Markov过程X(t)有唯一的遍历平稳分布π(·)，令f(·)为关于测度π可积的函数，则对所有的x∈Ed成立，且有
定理3.1假设B=(βkj)n×n不可约，R0=ρ(M0)>1。如果
其中
又因为
另一方面，系统(4)的扩散矩阵为
在研究多群体SIS传染病动力学性态的过程中，疾病的存在和灭绝是两个需要重点关注的问题。在前一节中已经研究了疾病持续，本节将给出疾病灭绝的充分条件。显然，P0=(0,0,…,0)是系统(4)的无病平衡点。
(8)
证明因为B=(βkj)n×n不可约，βkj≥0，M0是非负并且不可约的。根据文献[8]中的引理A.1，在M0中存在一个正的特征向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)，对应于ρ(M0)，使得
(ω1,ω2,…,ωn)ρ(M0)=(ω1,ω2,…,ωn)M0
其中
那么L(logV)≤m1+m2，又因为
所以可以得到
注4.1定理4.1表明当
本节根据文献[20]中的Milstein高阶方法，将进行数值模拟来阐明白噪声给系统(4)带来的影响。考虑当n=2时，初值为I1(0)=1，I2(0)=1.5的情形。在这种情况下，可以得到
情形1：
选定参数值为
β11=0.4,β12=0.1,β21=0.2,β22=0.4,μ1=0.4,μ2=0.4,N1=2.5,N2=3,
γ1=0.5,γ2=0.4,α1=0.4,α2=0.4,σ1=0.1,σ2=0.08
通过计算，可以得到R0>1，此时疾病存在。定理3.1表明系统(4)存在唯一的平稳分布，如图1所示。在图2中，蓝色的线表示随机系统(4)的解，红色的线表示对应未受扰动的确定性系统的解。可以看到，随机系统的解总是在确定性系统的解曲线附近振荡，这表明疾病是持续存在的。
图1 系统(4)存在唯一的平稳分布
图2 随机系统(4)和对应的确定性系统在R0>1时的解曲线
情形2：
选定参数值为
β11=0.4,β12=0.1,β21=0.1,β22=0.2,μ1=0.5,μ2=0.5,N1=2.5,N2=2,
γ1=0.5,γ2=0.5,α1=0.1,α2=0.1,σ1=0.4,σ2=0.3
图3 随机系统(4)和对应的确定性系统在时的解曲线
