马景文,张崇岐
(1.兰州财经大学 统计学院,甘肃 兰州 730030；
2.广州大学 经济与统计学院,广东 广州 510006)
混料试验设计是一种常见的、较特殊的涉及多因素的试验设计方法。在日常生产生活及科学实验中,很多产品的制造混合了多种成份。生产者或试验者常对产品的几种感兴趣的特性展开研究,这些特性往往与产品成份所占总量的比例之间存在函数关系,而不受混料总量的影响。混料问题的可控变量,即每种成份在混料总量中所占的百分比,是不能任意变化的,要受某些约束的限制。这些百分比必须都是非负的,而且相加之和必须是1[1]。在q分量混料试验模型中,用E(Y)表示试验指标或响应值,x1,x2,…,xq表示混料系统中q种成分各占的百分比,则混料试验设计就是要在满足约束条件
(1)
的限制下进行试验,并由此定义了一个q-1维正规单纯形试验区域
(2)
在Box等[2]提出最优准则后,Laake[3]给出了积分方差达到最小的V-最优设计,也称为Iλ-最优设计。关颖男等[4]详细研究了二阶可加模型的Iλ-最优。刘严[5]讨论了二阶Scheffe模型参数估计的Iλ-最优设计。张小峰等[6]介绍了二阶随机变系数模型的V-最优设计。基于此,本文将详细讨论q分量二阶中心多项式的V-最优设计。
∑i
fT(x)β
(3)
本文将主要研究当m=2时,正规单纯形上的q分量二阶中心多项式混料模型：
(4)
(5)
这里δ2是试验误差的方差[9]。对于不同的试验设计方案来说,ξ(x)在各个点x是不同的,可以把回归方程预测值方差在整个利益区域上的平均值作为衡量设计优良性的一种标准,它越小越好[10]。设
为整个单纯形区域上响应估计的积分方差。
对于模型(3),则
tr[(XTΛX)-1L]
(6)
使W在q-1维正规单纯形试验区域Sq-1的平均值达极小值的设计称为V-最优设计[11]。即
(7)
其中,B=L·Γ(q)。
引理1[12]对于混料试验区域Sq-1上的二阶中心多项式模型(4),响应估计的最优设计驻点是Sq-1上的各类中心点(顶点、中点和重心)。
对模型(4)采用单纯形中心设计,对应的设计矩阵X见表1。
表1 单纯形中心设计的设计矩阵XTable 1 Design matrix X for simple center design
利用引理3矩阵反演公式,求出信息矩阵M(ξ)的逆为
又可知
则根据引理3可计算：
因此，矩阵L可写为
其可分块为
其中，
C2=Mα21+Jα21,
D2=2Im+Mα22+Jα22。
则矩阵M-1(ξ)L的迹为
这样,V-最优准则下q分量二阶混料中心多项式模型的最优设计所对应的测度应是条件极小值问题
(8)
的解。利用拉格朗日乘子法,令
(9)
结合mathematica解方程组(9),可得模型(4)的V-最优观测频数的一般表达式为
下面考察当q=3时模型(4)的V-最优设计。
M-1(ξ)=
则矩阵M-1(ξ)L为
这样由V-最优设计准则就可得如下条件极小值问题：
结合mathematica利用拉格朗日乘子法可得到结果：
r1→0.100 723 159 750 654 081，r2→0.232 610 173 582 679 252。
因此,三分量二阶中心多项式模型的V-最优配置为
单纯形-中心设计的最优配置问题归结为在某种最优标准下选择各类设计点的最优配置比r1∶r2∶…∶rm。本文主要讨论了q分量二阶混料中心多项式的V-最优配置,这类低价多项式模型能够较好地近似表示响应曲面,比高阶多项式使用起来方便,并且在多数情况下至多使用二阶多项式模型就足够了。因此,本文的研究是很有必要的。在本文的研究过程中主要使用了分块矩阵运算、拉格朗日乘子法以及软件mathematica,这使得对于模型的V-最优设计变得相对容易,也启发笔者在之后相关混料试验最优设计的研究中,要善于应用已有数学知识、优化算法以及各类软件。
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