下面是小编为大家整理的从教学立意到细节雕琢，从幕后研讨到台前上课（完整）,供大家参考。
从教学立意到细节雕琢，从幕后研讨到台前上课 ————以《二项式定理》第一课时的打磨为例 作
者：
柳小平/江建国
作者简介：
柳小平，浙江省丽水市教研室；江建国，浙江省丽水学院附属高级中学.
原发信息：
《中学数学：高中版》(武汉)2013 年第 12 期 第 7-10 页
期刊名称：
《高中数学教与学》 复印期号：
2014 年 02 期
磨课是促进教师专业发展的有效途径之一，在磨课过程中既有青年教师在与教材、与学生、与课堂、与同伴对话中的成长，又有老教师在敞开心扉的交流与感悟中对经验的反思、教学智慧的提升.下面就“二项式定理第一课时”的打磨以及课前、课后的经过谈点个人的体会和感悟.
一、磨课过程中争论的焦点
在二项式定理第一课时的打磨过程中，争论的焦点主要集中在三个关键环节的处理上，处理方式的不同显示了教学立意的高低.
首先是如何引导学生提出问题，虽然二项式定理可以从研究 n=1，2，3 等特殊情形出发，进一步想到研究一般情形，学生能由特殊到一般提出问题，这种提问方式显得单调、呆板，缺乏创意，难以引起学生兴趣.
其次是如何引导学生探究二项式定理展开式，探究完成后是否要写出完整的证明过程，学生习惯思维是观察 n=1，2，3，…等特殊情形下展开式的规律，归纳猜想一般情形下展开式的规律，再去证明猜想，而在二项式定理展开式中，这种常规思维只能发现项的次数规律，发现不了二项展开式系数规律，是在关键点上牵着学生走过去进行“伪探究”，还是让学生产生挫败后去寻找新方法，持前一种观点的老师认为，二项式定理系数规律难以发现，不宜作为探究点，持后种观点的老师认为，学生遇到挫折之后，再去寻找新方法，这样才是“真探究”，但大家普遍担心在此处纠缠不清，完不成任务，破坏了课堂的完整性，其次，要是学生探究不出来，或者出现各种各样的猜想，课堂难以掌控，最后演变成无奈之下的告知；认为要补写证明过程的老师认为，学生对代数证明本身就感到困难，通过补写，可以帮学生理清逻辑思路，如果不写，探究过程没有得到较好的提炼与总结，持相反观点的老师认为，补写过程显得有些重复、机械，实属多此一举.
再次是关于例题与练习的设计，是围绕通项公式进行各种形式的演练，促进基本知识的记忆与基本技能的形成，还是紧扣计数原理在多项式乘法中运用这条主线，设计有思维梯度的问题凸显数学的本质，持前一种观点的老师认为，通项公式是二项式定理的核心，大部分考试题、应用问题都是围绕通项公式展开，也是进一步学习的基础，夯实基础是第一节课要完成的中心任务，持后一种观点的老师认为，围绕通项公式的应用设计
例题、练习，无异于重复操练，缺少思维深度，学生难以全面、深入的理解计数原理与展开式间的关系.
二、在研磨中形成初步方案
在大家的共同努力之下，在三个焦点环节上提出了几个不同的方案.
首先，关于新课引入大家提出了两种方案：
方案 1：在学生展开 2 次、3 次式后，提出问题：如何展开 呢？通过设置“障碍”促使学生思考 展开式的一般规律，以达到提出问题目的.
方案 2：建议把二项式定理发现历史与课题引入融合，提升课堂文化品位.通过对两种方案的比较、分析，大家一致认为数学本身探寻的是普遍规律，从特殊情形到一般情形是很自然的思维过程，设置障碍多此一举，而学生的学习遵循“历史发生原理”，把二项式定理发现的历史融入新课导入，既能引起学生的兴趣，符合新课程理念，还能提升课堂品位.
其次是关于二项式展开式规律的探究，几番争论之后大家最后达成一致，认为这是本节课的亮点之一，也是考验团队教学设计能力的关键点，最后定调为“教师引导下的探究”，最后就如何引导，设计了三个方案：
方案 1：顺着学生的思维，先观察 n=2，3，4 时展开式的规律，再猜想一般展开式的规律，当学生思维受阻时，再引导学生观察具体的项是如何相乘得到的，比如是三个 是三个（a+b）相乘，要想得到
必须怎样相乘？从几个括号中选 a 余下括号选什么？通过对“选法”的分析联系到计数原理.
方案 2：先观察 n=2，3，4 时展开式系数，提问：能不能把这些系数写成与 n 有关的组合数？进而猜想一般展开式系数规律，再对系数规律进行解释性的说明.
方案 3：重点分析 展开式中有几种类型的项？这些项是如何得到的？各项系数是如何确定的？再进一步分析 n=3，4 时的规律，猜想一般展开式的规律.
数学学习是在教师引导下的“再创造”，“再创造”的本质是在学生认知困难之处为其搭建合适的“脚手架”，方案 1 中的引导“暗示成分”过重，“探究成分”过轻，方案 2 中的问题“能不能把这些系数写成与 n有关的组合数？”太过突兀，有些牵强附会，方案 3 比较贴近学生的实际，学生对多项式乘法法则在操作层面的运用是比较熟悉的，但对程序性操作之后导致系数不同尚未进行深度思考，正好是这节课要挖掘的重点，在学生思维的“最近发展区”激活思维，再引导其生长、拓展合情又合理，这一想法也恰好与“二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思路是先猜后证.与以往教科书的比较，猜想不是通过对 中 n 取 1，2，3，4 时展开式的形式特征分析而归纳得出的，而是直接运用两个计数原理对 展开式的项的特征进行分析.这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认
识的基础，而且也为证明猜想提供了基本的思路.”（数学选修 2-3（人教A 版）教师教学用书）不谋而合.
关于证明，为了做到既不重复，又能对探究过程进行梳理、提炼，形成清晰的思路，采取学生口述证明过程，教师简写证明步骤，既避免重复，又训练学生口头表达能力，可谓一举两得.
最后是关于例题与练习设计，大家最后形成的共识是：既要注重基本技能的训练，也要重视思维本质的拓展，在基本技能训练中完成二项式系数、项的系数等概念的学习，熟练正用、逆用展开式，在此基础上再体会求展开式系数的本质.
三、教学环节设计
教学设计是根据教学对象和教学内容，确定合适的教学起点和终点，将教学诸要素有序、优化的安排，形成教学方案的过程，其中包括若干教学环节，这些教学环节构成了教学方案的主体框架，学生的学习从一个环节到另一个环节连续不断的推进，每个环节中的事件（问题）呈现要自然，环节之间衔接要流畅，学生思维在事件（问题）引导之下有序推进，经过反复打磨、推敲，把这节课划分为五个基本的教学环节（如图 1 所示）.
四、关键环节教学实录
1.引入环节——提出问题
师（幻灯片上打出图片如图 2）：同学们知道他是谁吗？是的，他就是牛顿，被誉为人类历史上最伟大的科学家之一，他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家，他在数学上第一个伟大的发现就是我们今天要学习的课题——二项式定理（板书课题），今天就让我们沿着大数学家牛顿的足迹重温他探究、发现二项式定理的历程，牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢？
师：大家能说出 等于什么吗？
生：我要算一算.
师：好的，那大家在草稿纸上算一算
师：我看到两种算法，一是把 写成 ，一是写成（a+b），再乘出来，结果都是对的……很好.（展示学生运算过程），我们将上面等式右边称作左边的展开式，如果你是牛顿，接下来会思考什么样的问题？
生：
的展开式是什么.
师：你很厉害，牛顿当年的确也是这么想的，牛顿想的是：一般情形下， （ ）的展开式是什么呢？
2.探究发现——提炼规律
师：要研究这个问题大家觉得应该从哪里入手？
生：我觉得应该从研究 n=2，3，4 时开始.
师：其实这个同学说的意思是要研究一般情形，可以先从特殊情形入手，从特殊到一般是研究问题的常用方法，那我们就先从 开始吧！请同学们观察它的展开式，思考两个问题：①含 、ab、 这三种形式的项是如何得到？②各项的系数是如何确定的？
生：从每个括号里取一个 a，两个 a 相乘就得到 ，再从两个括号里取各取一个 a，一个 b，两个相乘就得到 ab……
师（追问）：有几种情况？
生：有两种.
先取 a，后取 b，先取 b，后取 a，每个括号里各取一个 b 相乘就得到 .
师：各项的系数是如何确定的呢？具体就是 的系数是 1，ab 的系数是 2……？
生：
只有一种选法，ab 有两种选法……
师：她的思路很清晰，总结她的发言有两点，一是展开式的每一项都是从每个括号中各任取一个字母相乘得到的，二是要确定某一项的系数，只需弄清楚有哪些情形相乘可以得到这一项， 只有一种情形——两个 a 相乘，系数就是 1，而 ab 有 a 和 b、b 和 a 两种情形，合并后系数就是 2，下面按照这样一个研究思路，我们再来研究 n=3……
师：前面两位同学用了不同的方法得到了 n=4 的展开式，但都是逐项相乘得到的，我现在要求不逐项相乘，研究展开式项的形式有哪几种？各形式项的系数是什么？可以同桌的两个同学或三个同学一起交流共同完成这个任务.（教师巡视指导）
展示研究结果 1，并请给出解释：这些项是怎么来的？
生：这些项分别是取四个 a、三个 a、两个 a、一个 a、不取 a 得到的，有五种形式项.
师：系数是怎么确定的呢？
生：取四个 a 也就是每个括号都取 a，只有一种取法 三个 a 就是……依次类推.
展示研究成果 2，并请给出解释.
生：其实我的思路和上面这个同学思路一样的，都是根据取 a 的个数分类讨论，系数是根据取几个 a 有几种情形，运用组合数来确定的.
师生共同完成一次展开式，提出问题：你能猜想出 展开式吗？
师：刚才仅仅是猜想，牛顿当年也是得到这样一个结论，我们花一节课的时间也得到了这个结论，同学们很聪明，只要大家努力，说不定若干年后你们当中也会出一个牛顿，我在这上面留了一个空，项在变，系数也在变，你能不能用一个统一的式子把这个规律表示出来？
生：
.（教师补充完整上式）
师：我们发现 k 取不同的值，它可以表示展开式中不同的项，有点像数列中的通项公式，我们暂且把它叫做通项.上面展开式仅仅是猜想，数学结论需要证明，那我们如何证明？通过刚才的研究，我们发现证明只需说明两点，一是项的形式，二是项的系数，这么多项一项一项地说是不是很麻烦，哪位同学有没有简单办法呢？
生：第 k 项是 ，当 k 取遍 0，1，2，…，n 时就得到了所有的项.
师：他刚才用通项代替一项一项的说明，很好， 是第 k 项吗？
学生自我纠正，是第 k+1 项，（追问）：从哪儿可以看出？因为第一项是 0，所以……
师：为什么每一项都是这样的形式呢？系数为什么是 呢？
生：因为每一项都有 n 个字母相乘，从 n 个括号中取出 k 个 b 有种取法，其余括号取 a，有 n-k 个 a，一种取法.
3.实战演练——思维推进（简略）
实战演练环节共安排了两个例题：
例 1 求 的展开式.
例 2 化简：
两个思维拓展训练题：
（1）在（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）（x-5）的展开式中含项的系数是________.
（2）求 的展开式中含 项的系数.
在例 1 中解决了项的系数与二项式系数两个概念的学习，进一步巩固了通项的应用，例 2 逆用公式，深化了对公式形式的认识及活用，拓展1、2 回归到系数的本质——哪些情形相乘得到这样的项.
五、关于这节课的思考
“天下之大事莫不作于细，天下之难事莫不作于易”，在教学设计过程中，如果说教学立意是宏观层面上的统筹，教学环节是中观层面的计划，那么教学细节则是微观层面的雕琢，一节课的成功取决于细节的打磨，学生思维的生长始于常见问题的深挖，在引入环节上，融入历史，一是提升了课堂的文化品位，二是激发了学生的好奇心、学习动机，更重要是在习以为常处提出问题，学生感悟到科学研究不是什么神秘的事情（牛顿这么伟大的科学家也是如此），也就是多问一个问题，而问题是方向，是目标，是发动思维的引擎，学生的思维因为问题而触发，最后又回归到问题解决上.再就是探究环节的设计，如何探究是技术问题，学生的思维习惯是回归到特殊情形，由特殊推及一般，这种思维方式隐藏在学生思想深处，教师的作用是激活而不是告知，围绕①项是如何得到？②各项的系数是如何确定的？对 n=2 深究之后，推及 n=3 的情形，再运用此法小组合作研究 n=4 的展开式，展示学生的研究成果，既是对学生研究的赞誉和肯定，也是集体反思与提升，推及一般之后，学生写出了展开式，教师的
留白和“你能不能用一个统一的式子把这个规律表达出来？”既给学生留下了思考空间，也促使学生对思维进行提炼和概括，学生思维在这种“润物细无声”中得以生长、拓展.再次是实战演练环节，在例题中熟练公式的正用、逆用，在拓展环节回归到问题的本质，前后呼应.